SIMPLS: an alternative approach to partial least squares regression

May 28, 2022

SIMPLSは、NIPALSとおなじく部分的最小二乗法(PLS)である。 NIPALSでは、潜在変数が、デフレーションされた説明変数の線形結合になる。 他方、SIMPLSの潜在変数は、中心化された説明変数の線形結合で表現できる。 そのため、NIPALSよりもSIMPLSの潜在変数の方が説明変数との関係を解釈しやすい。

中心化された説明変数を\(\boldsymbol{\rm X}_0^\top\), 目的変数を\(\boldsymbol{\rm Y}_0\)とおく。 潜在変数の数を\(\boldsymbol{\rm A}\)として\(a=1,\dots A\)について次の手順を繰り返す。

\(a=1\)であれば\(\boldsymbol{\rm S}\)を、それ以外の場合\(\boldsymbol{\rm S - P(P^\top P)^{-1}P^\top S}\)を特異値分解(SVD)する。 この左特異値ベクトルを\(\boldsymbol{\rm r}\)として、潜在変数\(\boldsymbol{\rm t = X_0 r}\)とローディングクトル\(\boldsymbol{\rm p=X^\top_0 t/(t^\top t)}\)をもとめ、\(\boldsymbol{\rm R, T, P}\)として記録する。

最後に回帰係数を\(\boldsymbol{\rm B_{PLS}=RT^-Y_0}\)としで求める。

上では、潜在変数\(\boldsymbol{t}\)がもとの説明変数\(\boldsymbol{\rm X}_0\)で表されている。

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